Mosaïque Persane 1 #

Al-Khwârismî (voilà sa fiche Wikipedia) a pour tâche de superviser la construction d’une immense mosaïque persane, composée de petits carreaux carrés, disponibles en 4 couleurs.

Il souhaite que le motif soit issu d’un processus calculatoire, afin de ne pas avoir à en établir le plan complet avant de lancer la réalisation. Pour cela, il décrit, à partir d’une mosaïque carrée, comment en obtenir une plus grande. En itérant ce processus il peut ainsi construire des mosaïques arbitrairement grandes.

Précisément, son processus itératif permet de passer d’une mosaïque carrée de taille $N \times N$ à une mosaïque carrée de taille $(2N-1) \times (2N-1)$, ayant donc une surface pratiquement 4 fois plus grande. Supposons que les quatre couleurs disponibles pour construire la mosaïque soient blanc, noir, bleu et rouge, et voyons comment utiliser le processus itératif en question en partant d’une mosaïque de taille $3 \times 3$ :

Les neuf carreaux de la mosaïque $3\times 3$ sont placés sur la nouvelle mosaïque (qui a pour taille $(2N-1) \times (2N-1)$ donc $5 \times 5$), de manière à laisser une place libre entre chaque carreau de la mosaïque (les places libres sont ici striées en jaune et vert) :

Le processus consiste à remplir les 16 emplacements libres par des carreaux de couleur appropriée, en suivant certains règles.

La première phase permet de remplir les emplacements qui ont des carreaux voisins dessus et dessous ou à gauche et à droite. Il y en a 12 dans l’exemple qui précède. La couleur à utiliser pour chacun des ces 12 emplacements est déterminée à partir de la couleur de ses deux uniques voisins. Selon les règles d’Al-Khwârismî, si les deux voisins sont, par exemple, bleu et rouge alors l’emplacement recevra un carreau blanc. Comme il y a quatre couleurs, il y a 10 paires de couleurs possibles (peu importe l’ordre des 2 couleurs de la paire), et donc 10 règles. Voici la liste des 10 règles, en utilisant comme abréviations pour les couleurs : B (bleu), R (rouge), N (noir), S (blanc, sefid en Persan) :

RR → N
RN → B
RB → S
RS → N
NN → B
NB → S
NS → R
BB → S
BS → N
SS → N

En appliquant ces règles, on obtient :

La seconde phase indique comment remplir les emplacements restants, à partir des 4 couleurs qui touchent un coin de cet emplacement (elles étaient déjà présentes à l’étape initiale). Cette fois, le processus est calculatoire (Al-Khwârismî a inventé deux ou trois choses concernant le calcul…) : on associe un entier de 0 à 3 à chacune des quatre couleurs, puis on fait la somme modulo 4, et le résultat obtenu donne la couleur à utiliser.

L’association entier/couleur à utiliser est la suivante :

R/0  N/1  B/2  S/3

Prenons l’exemple de l’emplacement vide en haut à gauche. Il est entouré, aux quatre coins par les couleurs : Blanc, Noir, Rouge et Bleu. La somme des 4 couleurs donne 6. Cette somme modulo 4 (reste de la division par 4) est 2, qui correspond à la couleur : Bleu. Cet emplacement sera donc rempli avec un carreau bleu. Incidemment, c’est la même chose pour les trois autres emplacements vides :

En recommençant le processus on obtient une mosaïque de taille $9\times9$ :

Ce processus de création de mosaïque enchante Al-Khwârismî. Il fait un autre essai, cette fois en itérant 3 fois à partir d’une mosaïque $3\times3$ composée initialement de 9 carreaux blancs. Il obtient :

Partir de 9 carreaux blancs est étonnant de simplicité. Il décide d’itérer ce processus 7 fois, à partir de la mosaïque $3\times3$ composée des 9 carreaux blancs. Il produit ainsi une mosaïque de $257\times 257$ carreaux.

Pouvez-vous fournir une image (dont la définition sera donc $257\times 257$, un pixel par carreau) du résultat qu’il obtient ?

Pièces à fournir :

• fichier contenant votre code source (.sb3 ou .py), pour que nous puissions tester ;
• explications sur la manière dont vous avez procédé ;
• réponse à l’énigme ;
• image de la mosaïque obtenue. L’image doit faire 257 x 257 pixels, et être au format PNG.