Kaprekar en base 16 #
\(\)Connaissez-vous les nombres de Kaprekar ? Ils ont été étudiés par le mathématicien indien Dattatreya Ramachandra Kaprekar.
Un nombre $n$ est un nombre de Kaprekar en base 10 si son carré peut être découpé en deux nombres non nuls tels que leur somme donne $n$.
Par exemple, $703$ est un nombre de Kaprekar en base 10, car $703^2 = 494\,209$, et le nombre $494\,209$ peut être découpé en deux parties non nulles, $494$ et $209$ telles que leur somme, $494 + 209$ redonne $703$.
Le nombre $297$ est aussi un nombre de Kaprekar en base 10, car $297^2 = 88\,209$, et le nombre $88\,209$ peut être découpé en deux parties non nulles, $88$ et $209$ telles que leur somme $88 + 209$ redonne $297$.
Au contraire, 54 n’est pas un nombre de Kaprekar en case 10, car $54 ^ 2 = 2\,916$, et le nombre $2\,916$, quelle que soit la manière de le découper : $2 + 916$ ou $29 + 16$ ou encore $291 + 6$ en deux parties non nulles, ne permet pas de retrouver $54$.
Le choix de la base 10 est arbitraire, et on peut s’intéresser aux nombres de
Kaprekar dans n’importe quelle base. Par exemple, 91 (ici écrit en base 10)
est un nombre de Kaprekar en base 16. En effet, $91^2=8\,281$ et $8\,281$ s’écrit
2059 en base 16. Le nombre en base 16 2059 peut être découpé en 2 (en
base 16) et 059 (en base 16). Si on additionne ces deux nombres, on trouve
91 !
En effet le nombre qui s’écrit 2 en base 16 s’écrit $2$ en base 10. Le
nombre qui s’écrit 59 en base 16 s’écrit 89 en base 10, et 89 + 2 = 91.
Un autre exemple 😀 ?
Le nombre $351$ est aussi un nombre de Kaprekar en base 16. Son carré est
$351^2=123\,201$, ce qui s’écrit en base 16 : 1E141.
Ce nouveau nombre peut être découpé en 1E et 141, dont la somme fait bien
$351$ (en effet, le nombre qui s’écrit 1E vaut $30$, le nombre qui s’écrit
141 vaut $321$ et $321 + 30=351$).
Voici les premiers nombres de Kaprekar en base 16 (notez que 1 n’est pas dedans, et que les nombres sont ci-dessous écrits en base 10) : $6, 10, 15, 51, 85, 91, 120, 136, 171, 205, 255, 351, 820, 910$
Saurez-vous trouver tous le nombres de Kaprekar en base 16, qui comportent 6 chiffres (lorsqu’on les écrit en base 10) ?
Le nombre $524\,800$ fait partie de la liste, et cette liste contient 32 nombres.
Pièces à fournir :
- fichier contenant votre code source (
.sb3ou.py), pour que nous puissions tester ;- explications sur la manière dont vous avez procédé ;
- liste des 32 nombres à 6 chiffres obtenus, les nombres doivent être donnés en base 10.