Les lucioles enchantées #

Au pays des lucioles enchantées (bien sûr que ça existe…), une luciole est toujours allumée, en rouge (état 1), en vert (état 2) ou en bleu (état 3).

Chaque seconde, chaque luciole change d’état selon le nombre de voisines qu’elle a actuellement dans l’état 2 ou 3 (vert ou bleu).

Précisément, chez les lucioles, le voisinage est défini ainsi (les positions voisines de la luciole centrale sont en gris) :

Potentiellement, une luciole peut donc avoir jusqu’à 8 voisines dans l’état vert ou bleu (les voisines dans l’état rouge ne comptent pas).

Pour trouver l’état d’une luciole à l’étape suivant, il suffit de décaler son état de 1, autant de fois qu’elle a de voisines vertes ou bleues. Par exemple, une luciole rouge, si elle a une voisine verte et aucune voisine bleue, passera à l’état vert (rouge -> vert).

Si la même luciole rouge a deux voisines vertes et une voisine bleue, son état changera 3 fois : rouge -> vert -> bleu -> rouge. Elle restera donc finalement dans l’état rouge.

Sur l’exemple de la figure suivante, on voit 6 lucioles à $t=0$.

À t = 0 :

• la luciole A a 1 voisin, elle passera du rouge au vert (1 changement)
• la luciole B a 1 voisin, elle passera du vert au bleu (1 changement)
• le luciole C a 2 voisins (seuls les voisins vert et bleu comptent), elle passera du bleu au vert (2 changements : bleu → rouge → vert)
• la luciole D a 2 voisins, elle passera du bleu au vert (2 changements : bleu → rouge → vert)
• la luciole E a 3 voisins, elle passera du bleu au bleu (3 changements : bleu → rouge → vert → bleu)
• la luciole F a 2 voisins, elle passera du vert au rouge (2 changements : vert → bleu → rouge)

À l’étape suivante ($t=1$) :

• la luciole A a 1 voisin, elle passera du vert au bleu (1 changement)
• la luciole B a 1 voisin, elle passera du bleu au rouge (1 changement)
• le luciole C a 3 voisins, elle passera du vert au vert (3 changements : vert → bleu → rouge → vert)
• la luciole D a 1 voisins, elle passera du vert au bleu (1 changement)
• la luciole E a 2 voisins, elle passera du bleu au vert (2 changements : bleu → rouge → vert)
• la luciole F a 2 voisins, elle passera du rouge au bleu (2 changements : rouge → vert → bleu)

On connaît l’état de toutes les lucioles à $t = 0$, il est donné par une image dans laquelle chaque luciole est représentée par un pixel, et il y a 1708 lucioles rouges, 1645 lucioles vertes et 1653 lucioles bleues.

Voici l’état des lucioles à $t=1$, il y a 1735 lucioles rouges, 1657 lucioles vertes et 1614 lucioles bleues.

Combien y aura-t-il de lucioles rouges, de lucioles vertes et de lucioles bleues à $t = 100$ ?

Vous pouvez vérifier votre réponse en donnant ci-dessous le nombre de lucioles bleues à $t=100$ :