À la recherche des nombres de Lychrel #

Voici une suite facile à construire :

1. On part d’un nombre arbitraire, par exemple 263
2. Puis on considère un nouveau nombre, obtenu en lisant le précédent à l’envers. On obtient ici : 362.
3. Enfin, on ajoute les 2 nombres obtenus, pour en obtenir un troisième : 263 + 362 = 625
4. Puis, on recommence avec 625 en reprenant à l’étape 2.

En partant du nombre 263, on obtient ainsi :

263 → 625 (263 + 362) → 1151 (625 + 526) → 2662 (1151 + 1511)

On finit très souvent par tomber sur un nombre palindrome, c’est à dire un nombre qui a la même séquence de chiffres, qu’on le lise de droite à gauche ou de gauche à droite. C’est le cas dans l’exemple précédent pour 2662, qui est un nombre palindrome.

Il est (très) difficile de dire combien d’étapes il faudra pour trouver un palindrome, ou même si on en trouvera finalement un. Dans l’exemple qui commence sur 261, on arrive à un premier palindrome en 3 étapes.

Si on choisit comme nombres de départ les entiers entre 1000 et 9999, pour combien d’entre eux parvient-on à un premier palindrome en exactement 7 étapes ? Quel est le plus petit de ces nombres de départ ? Le plus grand ?

À titre d’exemple, 2753 fait partie de ces nombres, qui donnent un premier palindrome en exactement 7 étapes.

2753 → 6325 → 11561 → 28072 → 55154 → 100309 → 1003310 → 1136311