Années persistantes #

Nous proposons de bâtir une suite de nombres en utilisant la règle suivante :

À partir d’un nombre donné, faire le produit de tous ses chiffres augmentés de 1.

Par exemple, à partir du nombre 2022, on peut calculer le nombre suivant en faisant le produit : (2 + 1) x (0 + 1) x (2 + 1) x (2 + 1) = 27. Le nombre qui suit 2022 est donc 27. Puis on continue, à partir de 27 : (2 + 1) x (7 + 1) = 24. Et ainsi de suite jusqu’à tomber sur 18 ou n’avoir plus qu’un seul chiffre.

• La suite issue de 2022 est : 2022, 27, 24, 15, 12, 6. Elle a pour longueur 6.
• La suite issue de 2028 est : 2028, 81, 18. Elle a pour longueur 3.

En choisissant comme nombre de départ une année du 3ᵉ millénaire (entre 2001 et 3000 donc), on peut calculer la longueur de la suite issue de chacune de ces années, qu’on appellera la persistance de l’année en question.

La persistance de l’année 2015 était 8, ce qui est le maximum pour les années du 3ᵉ millénaire. Mais ce maximum sera atteint plusieurs fois. Combien de fois exactement ? Et en quelles années ?